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ANALISI MATEMATICA
REGGIO DI CALABRIA
Dati Generali
Periodo di attività
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire allo Studente i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale. A tal fine, le definizioni e i principali risultati dell’analisi matematica di base, relativi ai concetti di limite, derivata ed integrale, verranno introdotti a partire dalle funzioni elementari per passare poi ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche più complesse derivanti dalle scienze applicate. L'obiettivo generale del corso è quello di far acquisire allo Studente un' appropriata conoscenza teorica e una buona capacità di utilizzo degli strumenti analitici di base, di stimolare la sua capacità di riflessione, di calcolo e di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato. In dettaglio, i risultati di apprendimento attesi sono i seguenti:
CONOSCENZA: lo studente deve conoscere i concetti fondamentali dell'Analisi Matematica (limiti, derivate, integrali)
CAPACITA' DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Lo studente deve acquisire la capacità di utilizzare gli strumenti matematici presentati e di utilizzarli in contesti sia teorici sia applicativi, anche diversi da quelli propri del corso.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: lo studente deve essere in grado di analizzare i dati di un problema ed identificare gli strumenti matematici atti a risolverlo.
ABILITA' COMUNICATIVE: lo studente deve essere in grado di esprimere concetti matematici in modo corretto e completo.
CAPACITA' DI APPRENDIMENTO: lo studente deve essere in grado di sviluppare e approfondire in modo autonomo ulteriori competenze.
Prerequisiti
Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori.
Metodi didattici
Il corso si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono previste, al bisogno, esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.
Verifica Apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di svolgere cinque esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva è non inferiore a 14/30.
Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo negli appelli della medesima sessione.
I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:
1. Calcolo di limiti e/o studio della continuità di una funzione che dipende da uno o più parametri (5 punti)
2. Studio della convergenza di una serie numerica con parametro (4 punti)
3. Calcolo di derivate e loro applicazioni (4 punti)
4. Calcolo dell'area di una regione piana utilizzando il calcolo integrale (5 punti)
5. Studio di una funzione (12 punti)
Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore e lo Studente può fare uso di libri e manuali oltre che della calcolatrice non programmabile. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso e si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato, nonché la capacità di esposizione dei contenuti teorici che stanno alla base delle varie tipologie di esercizi presenti nella prova scritta.
Il voto finale dell'esame di Analisi Matematica I è uguale a quello conseguito nella prova orale nel caso in cui il voto della prova orale è maggiore di quello ottenuto nella prova scritta, nel caso contrario è dato dalla media aritmetica tra i due voti.
30-30 e lode: Conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, eccellente capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;
27-29: Conoscenza completa e approfondita degli argomenti, ottima capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;
24-26: Conoscenza completa degli argomenti, buona capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;
21-23: Conoscenza adeguata degli argomenti, capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;
18-20: Conoscenza di base degli argomenti, sufficiente capacità interpretativa e di applicazione delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti.
Testi
C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica I, Seconda edizione, Zanichelli..
S. Biagi, F. Punzo, Lezioni di Analisi Matematica I, Società Editrice Esculapio.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica I, Seconda edizione, Zanichelli..
Contenuti
I. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Generalità sulle funzioni. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni e trasformazione dei grafici. Funzioni invertibili, funzioni monotone.
II-III. Elementi di topologia. Definizione di limite per una funzione reale di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della permanenza del segno. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.
Successioni numeriche. Limite di una successione. Alcuni limiti notevoli. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, la serie di Mengoli, la seria armonica e armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz.
IV. Funzioni continue. continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema di esistenza degli zeri. Applicazioni. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
V-VI. Definizione di derivata e suo significato geometrico. Equazione della retta tangente al grafico. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Derivata della funzione composta. Derivabilità e continuità. Derivate successive. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e suo significato geometrico. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange: significato geometrico e corollari. Differenziale e approssimazione lineare. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Studio del grafico di una funzione.
VII-VIII-IX. Primitive di una funzione. Definizione di integrale indefinito e sue proprietà. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali, trigonometriche e irrazionali. L'integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri: integrali su insiemi illimitati e/o con integranda non limitata. Esempi fondamentali. Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico.