In questo modulo presenteremo i concetti di base dell'analisi matematica.
Introduciamo le funzioni reali di variabile reale, le definizioni di limite, continuità e differenziabilità, assieme alle loro principali proprietà e a qualche risultato di base.
Applicheremo i concetti di cui sopra allo studio del grafico di una funzione.
Conoscenze di base, fornite generalmente nelle scuole secondarie di secondo grado.
Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi previsti, si svolge principalmente attraverso lezioni frontali.
Sono previste anche lezioni pratiche didattiche, esercitazioni guidate con il supporto del docente e simulazioni d'esame, con l'obiettivo di stimolare il pensiero critico e un approccio autonomo alla risoluzione dei problemi.
Gli argomenti e il livello degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati.
L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale. Durante la prova scritta, agli studenti viene richiesto lo svolgimento completo di alcuni esercizi. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è espressa in trentesimi.
Lo studente supera la prova scritta se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Una volta superata la prova scritta, lo studente ha diritto a partecipare alla prova orale solo nella stessa sessione in cui ha superato la prova scritta.
La prova scritta valuta le capacità critiche raggiunte dagli studenti negli argomenti trattati durante il corso e il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti.
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti indicati nel programma del corso e valuta la capacità dello studente di comunicare, con un linguaggio scientifico appropriato, le nozioni apprese, nonché la sua capacità di esporre gli aspetti teorici che sottendono le varie tipologie di esercizi contenuti nella prova scritta. Il punteggio della prova orale sarà assegnato secondo i seguenti criteri di valutazione:
30-30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti del corso, ottima capacità di comprendere e applicare autonomamente le conoscenze acquisite per risolvere i quesiti proposti;
29-27: conoscenza completa e approfondita degli argomenti del corso, ottima capacità di comprendere e applicare autonomamente le conoscenze acquisite per risolvere i quesiti proposti;
26-25: conoscenza completa degli argomenti del corso, buona capacità di comprendere e applicare autonomamente le conoscenze acquisite per risolvere i quesiti proposti;
24-22: Conoscenza approfondita degli argomenti del corso, capacità di comprendere e applicare in autonomia le conoscenze acquisite per risolvere i quesiti proposti;
21-18: Conoscenza di base degli argomenti del corso, capacità di comprendere e applicare in autonomia le conoscenze acquisite per risolvere i quesiti proposti.
Gli studenti possono adottare il libro
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, EDIZ. MYLAB. CON AGGIORNAMENTO ONLINE, Pearson 2022
o una delle edizioni del testo
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, Springer.
Insiemi ed operazioni su di essi. Insiemi numerici N, Z, Q e R. La rappresentazione dei numeri sulla retta e la relazione di ordine. Valore assoluto.
Intervalli. insiemi limitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Intorno di un punto: intorno circolare, aperto e chiuso.
Funzioni: dominio, grafico, insieme immagine, controimmagine, limitatezza, iniettività, suriettività, biunivocità, monotonia. Alcuni esempi. Funzione inversa. Teorema sulla funzione inversa.
Composizione. Traslazione, cambio di scala. Funzioni pari, dispari e periodiche.
Funzioni elementari: potenze, polinomi, e funzioni razionali. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Seno e coseno iperbolico.
Successioni.
Limiti, limiti destro e sinistro. Teoremi: unicità, somma, prodotto, permanenza del segno (con dimostrazione), Primo e secondo teorema del confronto (con dimostrazione).
Algebra dei limiti.
Continuità, continuità da destra e da sinistra, discontinuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi derivati da quelli sui limiti, continuità della funzione composta e della funzione inversa.
Forme indeterminate: somma, prodotto e di tipo esponenziale.
Confronto locale, infinitesimi ed infiniti.
Asintoti.
Teoremi: degli zeri, di Weierstrass, dei valori intermedi.
Derivate: definizioni, regole, legami tra derivabilità e continuità (con dimostrazione).
Teorema di De l’Hopital. Punti di estremo e punti critici di una funzione. Teoremi: Fermat, Rolle, Lagrange (e le sue conseguenza), Cauchy. Test di monotonia. Funzioni convesse.
Formula di Taylor.
Serie: definizioni di base. Criterio del rapporto e di Leibniz. Serie geometriche.
