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ANALISI MATEMATICA
REGGIO DI CALABRIA
Dati Generali
Periodo di attività
Syllabus
Obiettivi Formativi
Scopo del corso è fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, dei numeri complessi e delle serie numeriche, necessari alle applicazioni alle materie ingegneristiche. Si forniscono, inoltre, gli strumenti necessari per impostare ed analizzare, con il metodo logico-deduttivo, un problema matematico.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino lo studente dovrà conseguire i seguenti risultati di apprendimento:
Conoscenza e comprensione: a seguito del superamento dell’esame, lo studente conosce ill calcolo infinitesimale, differenziale e integrale. Conosce le operazioni in campo complesso e le serie numeriche.
Capacità di applicare conoscenze: a seguito del superamento dell’esame, lo studente è in grado di utilizzare gli strumenti del calcolo infinitesimale, impostare e risolvere problemi di calcolo differenziale e integrale, equazioni con numeri complessi e serie numeriche, anche al fine di formalizzare e risolvere problemi legati alle discipline strutturali del corso di studio.
Autonomia di giudizio: Per il superamento dell’esame lo studente deve essere in grado di riconoscere le tecniche più elementari dell'analisi matematica e riconoscere le situazioni e i problemi in cui tali tecniche possono essere applicate.
Abilità comunicative: per il superamento dell’esame lo studente deve essere in grado di conoscere e illustrare con un linguaggio scientifico appropriato le motivazioni teoriche, che sono alla base della procedura di calcolo scelta per l’esecuzione di un esercizio, e il ragionamento logico alla base dei teoremi fondamentali dell’Analisi Matematica.
Capacità di apprendimento: a seguito del superamento dell’esame, lo studente è in grado di di approfondire in autonomia le conoscenze acquisite e di applicare le stesse alla conoscenza di nuovi argomenti, dove l’analisi matematica viene applicata.
Prerequisiti
Conoscenze di matematica già richieste nel TOLC-I
Metodi didattici
L'insegnamento è organizzato secondo la seguente ripartizione:
- Lezioni frontali (42 ore): spiegazione di definizioni, teoremi e dimostrazioni.
- Esercitazioni (30 ore): applicazioni pratiche, studio di funzioni, calcolo di limiti e integrali, serie, numeri complessi
Verifica Apprendimento
L’esame consiste in due prove, una scritta e una orale.
La prova scritta ha la durata di due ore e trenta minuti ed è volta ad accertare le capacità acquisite dallo studente nel risolvere esercizi sul calcolo infinitesimale, differenziale, integrale, sui numeri complessi e sulle serie numeriche.
Il superamento della prova scritta consente l’accesso alla prova orale.
La prova orale è volta ad accertare il livello di conoscenza e comprensione dei contenuti del corso, di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento e le abilità comunicative. La prova orale consiste nella discussione della prova scritta e in domande sui contenuti del corso.
Il voto finale della prova di esame è determinato tenendo conto sia della prova scritta che della prova orale.
Schema di valutazione
30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, eccellente proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
28 - 30: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 27: conoscenza degli argomenti con un buon grado di padronanza, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, buona capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
20 - 23: conoscenza adeguata degli argomenti ma limitata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, più che sufficiente capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 19: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, sufficiente capacità interpretativa, sufficiente capacità di applicare le conoscenze di base acquisite;
<18 Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.
Testi
C. Canuto - A.Tabacco, Analisi matematica 1, Pearson
P. Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica Volume I (parte 1-parte 2), Liguori Editore.
Contenuti
I numeri e le funzioni reali. Concetti di base di teoria degli insiemi. Nozioni di logica. Insiemi numerici: richiami sui naturali, relativi, razionali. Principio di induzione. Relazioni d'ordine. Numeri reali: ordinamento e completezza. Elementi di topologia. Concetto di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa, funzione composta. Funzioni elementari. Funzioni limitate, illimitate, monotone, periodiche. Estremi inferiore e superiore di funzioni. Massimi e minimi assoluti di funzioni. (1.5 CFU)
Numeri complessi. Forma algebrica, forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso. Operazioni tra numeri complessi, formule di De Moivre. Radici n-esime di un numero complesso. Formule di Eulero. (0.5 CFU)
Continuità di funzioni reali di variabile reale. Definizione di limite. Limite destro, Limite sinistro. Esistenza del limite. Asintoti. Algebra dei limiti. Casi di indeterminazione. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Limiti di funzioni monotone. Infinitesimi ed infiniti. Principio di sostituzione. Definizione di funzione continua. Punti di discontinuità e loro classificazione. Continuità della funzione composta. Teorema di Weierstrass.Teorema dei valori intermedi. Criterio di invertibilità. Teorema di esistenza degli zeri. Continuità della funzione inversa. (2 CFU)
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di derivata e significato geometrico. Punti angolosi e cuspidi. Derivate di funzioni elementari. Operazioni con le derivate. Derivabilità e continuità. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa e applicazioni. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Punti critici. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Interpretazione geometrica e conseguenze del Teorema di Lagrange. Teorema di De L'Hôpital. Differenziale di una funzione. Concavità e convessità. Flessi. Formula di Taylor e applicazioni. Resto di Peano. Resto di Lagrange. Studio del grafico di una funzione. (2.5 CFU)
Calcolo integrale. Partizione di un intervallo. Teoria dell'integrazione secondo Riemann. Integrale definito. Classi di funzioni integrabili. Funzione di Dirichlet. Somme integrali di Riemann. Proprietà dell'integrale definito ed interpretazione geometrica. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Integrale indefinito. Metodi di integrazione. Dominio normale. Calcolo di aree di domini piani. Integrali impropri. Criteri di integrabilità. (2 CFU)
Successioni e serie numeriche. Successioni reali. Limite di una successione. Teorema del limite delle successioni monotone. Limiti notevoli. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibnitz. (0.5 CFU)
Altre informazioni
Codice del Team: 5ynt5m7