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ANALISI MATEMATICA
REGGIO DI CALABRIA
Dati Generali
Periodo di attività
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il modulo di Analisi Matematica II si propone di fornire allo Studente quei concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabili reali. Le tematiche di base verranno introdotte a partire dagli analoghi concetti già studiati per le funzioni di una variabile (quali limiti, derivate, integrali, studi di funzioni elementari) per passare gradualmente ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche complesse inerenti lo studio dei massimi e minimi per una funzione, le equazioni differenziali, il calcolo di integrali doppi e tripli, la determinazione della terna intrinseca di una curva.
Prerequisiti
Nessun prerequisito.
Metodi didattici
Didattica frontale.
Su richiesta, verrà fornito agli studenti del materiale didattico (dispense, test, esercizi).
Verifica Apprendimento
La prova d'esame consiste in una verifica scritta finale ed in una prova orale, alla quale si accede se nella verifica scritta finale si è conseguito almeno un punteggio minimo predeterminato (15/30). Il superamento di eventuali prove scritte e/o orali in itinere esonera lo Studente dal sostenere, nella verifica finale, la parte sui cui è stato già valutato.
La prova scritta comprende quattro quesiti a risposta multipla. Lo studente dovrà scegliere tra le varie opzioni di risposta quella che ritiene corretta e motivare la scelta.
Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale, che si svolgerà subito dopo la prova scritta.
Il voto della prova orale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, piena proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze basilari acquisite in contesti elementari;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.
Testi
C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 2, Teoria ed esercizi, seconda edizione, Springer
Contenuti
Funzioni reali di più variabili reali. Elementi di topologia nel piano e nello spazio. Limite e continuità. Teoremi di esistenza degli zeri e di Weierstrass. Derivate parziali, successive, direzionali. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni composte. Formula di Taylor del secondo ordine.
Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per un estremo relativo. Ricerca del massimo e del minimo assoluto.
Integrale generale di un’equazione differenziale ordinaria (E.D.O.). Problema di Cauchy e ai limiti. Esistenza e unicità locale e globale. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. E.D.O. a variabili separabili. Proprietà delle E.D.O. lineari. E.D.O. lineari del primo e del secondo ordine. Metodi di somiglianza e di variazione delle costanti.
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi della continuità, della derivabilità, del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di potenze.
Integrali doppi e tripli. Integrali su domini normali. Integrale di funzioni continue. Formule di riduzione e cambiamento di variabili per gli integrali doppi e tripli. Volume di un solido di rotazione.
Elementi di calcolo vettoriale. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Versore tangente, normale e binormale.
Forme differenziali. Campi vettoriali. Integrale di una forma differenziale Campi conservativi e potenziale. Lavoro di un campo conservativo.
Superficie regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Formule di Gauss-Green nel piano. Area di un dominio regolare. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Formula di integrazione per parti.