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ANALISI MATEMATICA
REGGIO DI CALABRIA
Dati Generali
Periodo di attività
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il modulo di Analisi Matematica 2 intende fornire i fondamenti del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di due o più variabili, del calcolo vettoriale, delle equazioni differenziali e delle serie di funzioni. Alla fine del corso lo studente dovrà aver assimilato il processo dimostrativo e risolutivo del problema matematico, acquisendo le seguenti capacità operative: comprensione dei concetti teorici e abilità nel risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento
Prerequisiti
Conoscenza approfondita degli argomenti di Analisi Matematica I
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni (svolte anche con l'ausilio di Matlab).
Verifica Apprendimento
L’esame consiste in un’unica prova scritta della durata di circa 4 ore, finalizzata a verificare l’acquisizione delle competenze richieste e la capacità di applicarle agli argomenti trattati nei moduli di Analisi Matematica 2 e di Calcolo delle Probabilità.
La prova prevede principalmente lo svolgimento di esercizi; a discrezione del docente, potranno essere inclusi anche quesiti di carattere teorico.
Per il superamento dell’esame, con votazione minima pari a 18/30, è necessario che lo studente dimostri conoscenze e competenze almeno di livello elementare.
Una votazione compresa tra 20/30 e 24/30 viene attribuita quando lo studente sappia svolgere in modo quasi corretto una parte degli esercizi, dimostrando comunque competenze di base.
Una votazione compresa tra 25/30 e 30/30 (con eventuale lode) è assegnata quando lo studente sappia svolgere correttamente tutti gli esercizi e mostri buone capacità argomentative.
Testi
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale. Volume 2 (Apogeo)
Contenuti
Lo spazio euclideo n-dimensionale
n-uple e vettori: lo spazio vettoriale n-dimensionale . Coordinate cartesiane. Versori. Norma di un vettore. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Richiami di geometria analitica nel piano e nello spazio. Equazione di una retta nel piano e nello spazio. Equazione di un piano nello spazio. Superfici quadriche.
Funzioni di più variabili
Funzioni reali di più variabili. Funzioni di due variabili. Dominio e codominio. Topologia di R^2: punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti e chiusi; intorni; insiemi limitati. Rappresentazione grafica di una funzione di due variabili: grafici e linee di livello. Limiti e continuità.
Calcolo differenziale per le funzioni di più variabili
Derivate parziali e loro significato geometrico. Derivabilità Differenziabilità. Piano tangente. Teorema del differenziale totale. Linearizzazione di una funzione. Derivata di una funzione composta (chain rule). Gradiente. Derivate direzionali. Derivate parziali di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana. Sviluppi di Taylor (del primo e secondo ordine).
Massimi e minimi locali. Punti critici. Teorema di Fermat. Punti di sella. Classificazione dei punti critici: test dell’hessiana.
Massimi e minimi assoluti su regioni chiuse. Teorema di Weierstrass.
Integrali multipli
Integrali doppi su regioni rettangolari. Domini normali. Integrali su domini normali. Integrali doppi su una regione qualunque. Proprietà degli integrali doppi. Calcolo di volumi, di aree, del valor medio di una funzione di due variabili. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali in coordinate polari.
Integrali tripli su parallelepipedi. Integrali tripli su domini normali. Calcolo di volumi di solidi, del valor medio di una funzione di tre variabili. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Integrali tripli in coordinate cilindriche. Integrali tripli in coordinate sferiche.
Integrazione su curve e superfici
Curve in R2 e R3. Curve regolari, semplici, chiuse. Vettore tangente. Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei di I specie.
Campi vettoriali. Integrali curvilinei di II specie. Lavoro di una forza. Campi conservativi. Condizioni necessarie e sufficienti per verificare la conservatività di un campo. Funzione potenziale. Rotore. Campi irrotazionali. Divergenza. Teorema di Green nel piano nella forma circolazione-rotore. Flusso di un campo lungo una curva. Teorema di Green nel piano nella forma flusso-divergenza.
Superfici e loro parametrizzazioni. Superfici regolari. Area di una superficie regolare. Integrali su superfici di funzioni di 3 variabili. Superfici orientate. Integrali di superficie di campi vettoriali: flusso di un campo attraverso una superficie orientata.
Teorema di Stokes. Teorema della divergenza.
Equazioni differenziali ordinarie.
Equazioni differenziali ordinarie del I ordine. Problema di Cauchy. EDO a variabili separabili. EDO lineari del I ordine. EDO riconducibili a equazioni lineari o a variabili separabili.
EDO lineari del II ordine. EDO del II ordine lineari omogenee. Principio di sovrapposizione. EDO del II ordine lineari omogenee a coefficienti costanti
Problemi ai valori iniziali e problemi al contorno. Soluzioni generali di EDO lineari non omogenee a coefficienti costanti. Metodo dei coefficienti indeterminati. Metodo della variazione dei parametri.
Successioni e serie di funzioni.
Successioni di funzioni. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, totale e assoluta. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza. Criteri di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor e di Maclaurin. Serie di Fourier.