In questo modulo presenteremo i concetti di base dell'analisi matematica. Introduciamo le funzioni reali di variabile reale, le definizioni di limite, continuità e differenziabilità, assieme alle loro principali proprietà e a qualche risultato di base. Applicheremo i concetti di cui sopra allo studio del grafico di una funzione.
Conoscenze di base, fornite generalmente nelle scuole secondarie di secondo grado.
Lezioni frontali. Su richiesta verrà fornito agli studenti ulteriore materiale didattico (dispense, test, esercizi).
L'esame consiste in una prova scritta finale e una prova orale, alla quale si accede se nella prova scritta finale viene conseguito almeno un punteggio minimo prestabilito (15/30). Il superamento di eventuali prove scritte e/o orali in corso esonera lo Studente dal discutere, nella prova finale, la parte sulla quale è già stato valutato.
La prova scritta prevede cinque domande a risposta multipla. Lo studente dovrà scegliere tra le opzioni di risposta quella che ritiene corretta e motivare la sua scelta.
Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere la prova orale, che si svolgerà immediatamente dopo la prova scritta. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del corso. Durante l'esame si valuta la capacità dello studente di comunicare, mediante un linguaggio scientifico appropriato, le proprie conoscenze, nonché di spiegare le tecniche utilizzate nella prova scritta.
Il voto della prova orale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, piena proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze basilari acquisite in contesti elementari;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.
Gli studenti possono adottare il libro
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, EDIZ. MYLAB. CON AGGIORNAMENTO ONLINE, Pearson 2022
o una delle edizioni del testo
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, Springer..
Insiemi ed operazioni su di essi. Insiemi numerici N, Z, Q e R. La rappresentazione dei numeri sulla retta e la relazione di ordine. Valore assoluto.
Intervalli. insiemi limitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Intorno di un punto: intorno circolare, aperto e chiuso.
Funzioni: domìinio, grafico, insieme immagine, controimmagine, limitatezza, iniettività, suriettività, biunivocità, monotonia.Alcuni esempi. Funzione inversa. Teorema sulla funzione inversa.
Composizione. Traslazione, cambio di scala. Funzioni pari, dispari e periodiche.
Funzioni elementari: potenze, polinomi, e funzioni razionali. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Seno e coseno iperbolico.
Successioni.
Limiti, limiti destro e sinistro.Teoremi: unicità, somma, prodotto, permanenza del segno (con dimostrazione), Primo e secondo teorema del confronto (con dimostrazione).
Algebra dei limiti.
Continuità, continuità da destra e da sinistra, discontinuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi derivati da quelli sui limiti, continuità della funzione composta e della funzione inversa.
Forme indeterminate: somma, prodotto e di tipo esponenziale. lim x→0sinx/x , lim x→+∞(1+1/x)^x.
Confronto locale, infinitesimi ed infiniti.
Asintoti.
Teeoremi: degli zeri, di Weierstrass, dei valori intermedi.
Derivate: definizioni, regole, legami tra derivabilità e continuità (con dimostrazione).
Teorema di De l’Hopital. Punti di estremo e punti critici di una funzione.Teoremi: Fermat, Rolle, Lagrange (e le sue conseguenza), Cauchy. Test di monotonia. Funzioni convesse.
Formula di Taylor..
Serie: definizioni di base. Criterio del rapporto e di Leibniz. Serie geometriche.
