Il modulo si propone di fornire le conoscenze di base relative ai principali metodi per l’approssimazione di dati, e di introdurre l'ambiente di calcolo scientifico Matlab. Gli obiettivi formativi del corso prevedono l’acquisizione di: capacità di costruire modelli numerici e di progettare algoritmi risolutivi; consapevolezza delle problematiche relative all’utilizzo del calcolatore per la risoluzione di problemi matematici; capacità di implementare algoritmi numerici sul calcolatore, realizzare test numerici e analizzare criticamente i risultati ottenuti.
Conoscenza approfondita degli argomenti di Analisi Matematica I
Lezioni frontali, esercitazioni ed attività laboratoriali svolte con l'ausilio di calcolatori
La prova, della durata di circa 4 ore, comprende tre quesiti relativi alla sezione di Metodi Numerici e quattro relativi a quella di Probabilità. In ciascuno dei casi, uno dei quesiti prevede l’elaborazione di un argomento teorico.
Per il modulo relativo ai metodi numerici potrebbe essere previsto lo svolgimento di un test numerico al calcolatore.
Il punteggio finale per ciascuna delle due sezioni (in trentesimi) è determinato sulla base della qualità complessiva delle soluzioni proposte. In particolare:
18–20: svolgimento elementare ed essenziale, privo di argomentazioni teoriche;
21–24: svolgimento sostanzialmente corretto della maggior parte degli esercizi, con argomentazioni teoriche limitate o frammentarie;
25–27: svolgimento sostanzialmente corretto di tutti gli esercizi, accompagnato da alcune buone argomentazioni teoriche;
28–30: svolgimento completo e corretto di tutti gli esercizi, supportato da argomentazioni chiare e rigorose.
I punteggi ottenuti nelle due sezioni vengono combinati mediante una media. Il risultato della media fornisce il voto complessivo espresso in trentesimi.
La lode è attribuita in presenza di una prova completa, corretta in ogni sua parte, priva di imprecisioni, che denoti padronanza piena degli strumenti teorici e capacità di argomentazione chiara e ben strutturata.
Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio. Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Springer
PROGRAMMA DEL MODULO
ELEMENTI INTRODUTTIVI.
Numeri reali e numeri complessi. Aritmetica floating-point e analisi degli errori. Ambiente di calcolo scientifico Matlab: comandi principali, matrici e vettori, funzioni matematiche. Istruzioni per la grafica. Programmare in Matlab.
APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI E DATI
Approssimazione con i polinomi di Taylor.
Interpolazione polinomiale. Polinomio interpolatore nella forma di Lagrange. Effetto Runge. Interpolazione con funzioni spline.
Approssimazione ai minimi quadrati. Equazioni normali.
Approssimazioni di Fourier. Interpolazione trigonometrica. Trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier discreta. Trasformata veloce di Fourier (FFT)
DIFFERENZIAZIONE ED INTEGRAZIONE NUMERICA
Approssimazione di derivate.
Formule di quadratura.
RISULTATI ATTESI
Con riferimento ai Descrittori di Dublino, i risultati attesi sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione Lo studente conosce i fondamenti dell'aritmetica floating-point e dell'analisi degli errori, i principali metodi di approssimazione di funzioni e dati (polinomi di Taylor, interpolazione polinomiale e spline, minimi quadrati, approssimazioni di Fourier e FFT) e le tecniche di base di differenziazione e integrazione numerica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sa implementare in Matlab i principali algoritmi studiati, costruire il polinomio interpolatore di Lagrange, calcolare l'approssimazione ai minimi quadrati, applicare la trasformata di Fourier discreta e la FFT, e approssimare derivate e integrali mediante formule numeriche.
Autonomia di giudizio Lo studente sa valutare la qualità di un'approssimazione, riconoscere fenomeni critici come l'effetto Runge, scegliere il metodo più adeguato in funzione dei dati e del problema.
Abilità comunicative Lo studente sa presentare per iscritto la soluzione di un problema numerico in forma ordinata, commentare i risultati ottenuti e motivare le scelte algoritmiche adottate.
Capacità di apprendimento Lo studente è in grado di consultare autonomamente documentazione tecnica e scientifica e di applicare gli strumenti acquisiti a problemi reali in contesti applicativi.
Tutti i materiali didattici (dispense, appunti e risorse integrative) saranno resi disponibili sul canale Microsoft Teams dedicato, il cui codice di accesso verrà fornito dalla docente all'inizio del corso
