Obiettivo del modulo è fornire una solida base sui principi fondamentali della probabilità e sulle principali distribuzioni discrete e continue. Lo studente dovrà acquisire competenze utili alla risoluzione di problemi concreti e sviluppare le conoscenze necessarie per affrontare i successivi corsi applicativi.
Conoscenza approfondita degli argomenti di Analisi Matematica I
Lezioni frontali ed esercitazioni (svolte anche con l'ausilio di Matlab)
La prova, della durata di circa 4 ore, comprende tre quesiti relativi alla sezione di Metodi Numerici e quattro relativi a quella di Probabilità. In ciascuno dei casi, uno dei quesiti prevede l’elaborazione di un argomento teorico.
Per il modulo relativo ai metodi numerici potrebbe essere previsto lo svolgimento di un test numerico al calcolatore.
Il punteggio finale per ciascuna delle due sezioni (in trentesimi) è determinato sulla base della qualità complessiva delle soluzioni proposte. In particolare:
18–20: svolgimento elementare ed essenziale, privo di argomentazioni teoriche;
21–24: svolgimento sostanzialmente corretto della maggior parte degli esercizi, con argomentazioni teoriche limitate o frammentarie;
25–27: svolgimento sostanzialmente corretto di tutti gli esercizi, accompagnato da alcune buone argomentazioni teoriche;
28–30: svolgimento completo e corretto di tutti gli esercizi, supportato da argomentazioni chiare e rigorose.
I punteggi ottenuti nelle due sezioni vengono combinati mediante una media. Il risultato della media fornisce il voto complessivo espresso in trentesimi.
La lode è attribuita in presenza di una prova completa, corretta in ogni sua parte, priva di imprecisioni, che denoti padronanza piena degli strumenti teorici e capacità di argomentazione chiara e ben strutturata.
S.M.Ross, Calcolo delle Probabilità, Terza edizione, Apogeo.
PROGRAMMA DEL MODULO
Fondamenti di Calcolo delle Probabilità
Fenomeni aleatori. Spazio campionario, eventi, sigma-algebre. Assiomi della probabilità. Costruzione di misure di probabilità: la definizione classica. Nozioni di calcolo combinatorio.
Probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte. Eventi indipendenti. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes.
Variabili aleatorie
Definizione di variabile aleatoria. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Variabili aleatorie discrete: funzione di probabilità di massa. Variabili aleatorie continue: funzione di densità di probabilità. Valor medio. Varianza. Momenti. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev. Legge dei 3 sigma.
Modelli di variabili aleatorie
Distribuzione uniforme discreta. Distribuzione geometrica. Distribuzione uniforme continua. Distribuzione esponenziale. Distribuzione binomiale. Distribuzione di Poisson. Distribuzione di Poisson come approssimazione della distribuzione binomiale. Distribuzione normale
Variabili aleatorie in R^n
V.a. multidimensionali. Funzione di ripartizione congiunta. Funzione di ripartizione marginale. V.a. doppie discrete e continue. V.a. indipendenti. Covarianza. Scorrelazione. Legge dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. Approssimazione normale della distribuzione binomiale.
RISULTATI ATTESI
Con riferimento ai Descrittori di Dublino, i risultati attesi sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione Lo studente conosce i fondamenti assiomatici del calcolo delle probabilità, i concetti di probabilità condizionata, indipendenza, teorema di Bayes, la teoria delle variabili aleatorie discrete e continue (funzione di ripartizione, densità, valor medio, varianza, momenti) e i principali modelli di distribuzione (uniforme, esponenziale, binomiale, Poisson, normale). Conosce inoltre le variabili aleatorie multidimensionali, la covarianza e i teoremi limite.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sa calcolare probabilità di eventi mediante gli assiomi, il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes, determinare valor medio e varianza di variabili aleatorie, riconoscere e utilizzare i principali modelli distribuzionali, e applicare la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale a problemi concreti.
Autonomia di giudizio Lo studente sa individuare il modello probabilistico più adeguato a descrivere un fenomeno aleatorio, scegliere gli strumenti di calcolo appropriati e interpretare correttamente i risultati ottenuti in termini probabilistici.
Abilità comunicative Lo studente sa presentare la soluzione di un problema probabilistico in forma rigorosa, utilizzando correttamente il formalismo degli eventi, delle variabili aleatorie e delle distribuzioni.
Capacità di apprendimento Lo studente è in grado di consultare autonomamente testi di probabilità e statistica e di trasferire gli strumenti acquisiti a discipline applicative
Tutti i materiali didattici (dispense, appunti e risorse integrative) saranno resi disponibili sul canale Microsoft Teams dedicato, il cui codice di accesso verrà fornito dal docente all'inizio del corso.
